Die dynamische Programmierung, ein von dem Mathematiker und Wirtschaftswissenschaftler Richard Bellman entwickeltes Konzept, revolutionierte die Herangehensweise an komplexe Optimierungsprobleme.
Bellman suchte damals nach einer effizienten Methode, um aus einer Vielzahl von Optionen die bestmögliche Lösung zu finden. Diese Herausforderung ist der Kern von Optimierungsproblemen.
Ein anschauliches Beispiel für ein solches Problem ist das des Handlungsreisenden, bei dem es darum geht, die kürzeste Route zu ermitteln, die es einem Verkäufer ermöglicht, jede Stadt genau einmal zu besuchen und zum Ausgangspunkt zurückzukehren.
Bellmans innovative Lösung bestand darin, diese Probleme in kleinere, handhabbare Teilprobleme zu zerlegen. Diese Teilprobleme wurden dann in aufsteigender Reihenfolge ihrer Komplexität gelöst. Die Ergebnisse wurden gespeichert und für die Lösung größerer Teilprobleme wiederverwendet. Dies ist die grundlegende Idee der dynamischen Programmierung.
Was verbirgt sich hinter der dynamischen Programmierung?
Die dynamische Programmierung löst Optimierungsprobleme durch das Aufteilen in kleinere Unterprobleme. Jedes Unterproblem wird nur einmal gelöst, und die Ergebnisse werden gespeichert. Diese gespeicherten Lösungen dienen als Bausteine, um das ursprüngliche, größere Problem zu lösen. Die Herangehensweise erfolgt dabei vom Kleinsten zum Größten, wodurch eine effiziente Wiederverwendung von Lösungen ermöglicht wird.
Wie funktioniert die dynamische Programmierung konkret?
Die Lösung eines Problems mittels dynamischer Programmierung lässt sich in folgende Schritte gliedern:
- Teilprobleme identifizieren: Ein großes Problem wird in kleinere, überschaubare Teilprobleme aufgeteilt.
- Teilprobleme lösen: Die Teilprobleme werden durch Rekursion oder Iteration gelöst.
- Lösungen speichern: Die Ergebnisse der gelösten Teilprobleme werden gespeichert, um sie bei Bedarf wiederzuverwenden.
- Gesamtlösung konstruieren: Aus den Lösungen der Teilprobleme wird die Lösung für das ursprüngliche Problem zusammengesetzt.
Um dies zu veranschaulichen, berechnen wir die 6. Fibonacci-Zahl, F(6), mit diesem Prozess.
Zuerst werden die Teilprobleme definiert:
F(n) = F(n-1) + F(n-2) für n > 1
Daraus folgt: F(6) = F(5) + F(4)
F(5) = F(4) + F(3)
F(4) = F(3) + F(2)
F(3) = F(2) + F(1)
F(2) = F(1) + F(0)
F(1) = 1
F(0) = 0
Im zweiten Schritt wird jedes Teilproblem gelöst, entweder durch eine rekursive Funktion oder einen iterativen Prozess. Die Teilprobleme werden in aufsteigender Größe gelöst, wobei die Ergebnisse kleinerer Teilprobleme wiederverwendet werden:
F(0) = 0
F(1) = 1
F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5
F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 = 8
Die Lösungen jedes Teilproblems werden in einem Array oder einer Tabelle gespeichert, um sie bei der Lösung größerer Teilprobleme wiederverwenden zu können:
Sobald alle Teilprobleme gelöst sind, werden die Ergebnisse zur Konstruktion der Lösung für das ursprüngliche Problem verwendet.
In diesem Fall ist die Lösung des ursprünglichen Problems die 6. Fibonacci-Zahl, die sich aus der Summe von F(5) und F(4) ergibt, die als Teilprobleme des großen Problems identifiziert wurden. Das Ergebnis ist 8.
Wo und warum findet die dynamische Programmierung Anwendung?
Die dynamische Programmierung findet ihren Einsatz in Bereichen, in denen Probleme in kleinere Teilprobleme aufgeteilt werden können und deren Lösungen zur Lösung größerer Probleme verwendet werden können.
Diese Bereiche umfassen Informatik, Wirtschaftswissenschaften, Mathematik und Ingenieurwesen. In der Informatik wird sie zur Lösung von Problemen mit Sequenzen, Graphen und ganzzahligen Werten sowie in der Wettbewerbsprogrammierung eingesetzt.
In der Wirtschaft wird sie zur Lösung von Optimierungsproblemen in den Bereichen Finanzen, Produktion und Ressourcenallokation eingesetzt. In der Mathematik findet die dynamische Programmierung Anwendung in der Spieltheorie, Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung, wo sie zur Lösung von Optimierungsproblemen verwendet wird.
Im Ingenieurwesen wird sie zur Lösung von Problemen in den Bereichen Ressourcenzuweisung, Planung, Fertigung, Kommunikation und Steuerungssysteme genutzt.
Die Verwendung der dynamischen Programmierung zur Lösung von Optimierungsproblemen bietet mehrere Vorteile:
- Effizienz: Dynamische Programmierung ist oft effizienter als andere Optimierungsalgorithmen, da sie die wiederholte Neuberechnung ähnlicher Probleme vermeidet.
- Lösung großer Probleme: Dynamische Programmierung ist ideal für große Optimierungsprobleme, die mit anderen Methoden nicht zu lösen wären. Dies liegt daran, dass das Problem in kleinere Teilprobleme aufgeteilt wird, wodurch seine Komplexität reduziert wird.
- Optimale Lösungen: Dynamische Programmieralgorithmen können die optimale Lösung für ein Problem finden, sofern die Teilprobleme und Ziele richtig definiert sind.
- Einfachheit: Dynamische Programmieralgorithmen sind relativ einfach zu implementieren und zu verstehen, besonders wenn das Problem in einer klaren Reihenfolge definiert werden kann.
- Erweiterbarkeit: Dynamische Programmieralgorithmen können leicht erweitert werden, um komplexere Probleme zu lösen, indem zusätzliche Unterprobleme hinzugefügt und die Ziele des Problems modifiziert werden.
Zusammenfassend ist die dynamische Programmierung ein äußerst nützliches Werkzeug zur Effizienzsteigerung bei der Lösung von Optimierungsproblemen.
Welche Ansätze werden in der dynamischen Programmierung verwendet?
In der dynamischen Programmierung werden zwei Hauptansätze zur Lösung von Optimierungsproblemen verwendet: der Top-Down-Ansatz und der Bottom-Up-Ansatz.
Top-Down-Ansatz
Dieser Ansatz wird auch als Memoisation bezeichnet. Memoisation ist eine Optimierungstechnik, die primär dazu dient, Programme zu beschleunigen. Dies geschieht, indem die Ergebnisse von Funktionsaufrufen im Cache gespeichert und bei erneuter Anforderung wiederverwendet werden, anstatt sie neu zu berechnen.
Der Top-Down-Ansatz verwendet Rekursion und Caching. Rekursion beinhaltet, dass eine Funktion sich selbst mit vereinfachten Versionen des Problems als Argument aufruft. Rekursion wird genutzt, um das Problem in kleinere Teilprobleme zu zerlegen und diese zu lösen.
Sobald ein Teilproblem gelöst wurde, wird das Ergebnis zwischengespeichert und wiederverwendet, wenn ein ähnliches Problem auftritt. Der Top-Down-Ansatz ist leicht verständlich und zu implementieren und löst jedes Teilproblem nur einmal. Ein Nachteil ist jedoch der hohe Speicherbedarf durch die Rekursion, der zu einem Stack-Overflow-Fehler führen kann.
Bottom-up-Ansatz
Der Bottom-up-Ansatz, auch Tabellierung genannt, vermeidet Rekursion und verwendet stattdessen Iteration, wodurch Stack-Overflow-Fehler ausgeschlossen werden.
Bei diesem Ansatz wird ein großes Problem in kleinere Teilprobleme aufgeteilt, deren Lösungen verwendet werden, um das größere Problem zu lösen.
Kleinere Teilprobleme werden in aufsteigender Größe gelöst und ihre Ergebnisse in einer Matrix, einem Array oder einer Tabelle gespeichert. Daher der Name Tabellierung.
Die gespeicherten Ergebnisse werden dann zur Lösung größerer Probleme genutzt, die von den Teilproblemen abhängen. Das Ergebnis des ursprünglichen Problems wird gefunden, indem das größte Teilproblem mithilfe zuvor berechneter Werte gelöst wird.
Dieser Ansatz ist vorteilhaft, da er durch den Verzicht auf Rekursion speicher- und zeiteffizient ist.
Beispiele für Probleme, die mit dynamischer Programmierung gelöst werden können
Im Folgenden werden einige Programmierprobleme aufgeführt, die sich mit dynamischer Programmierung lösen lassen:
#1. Das Rucksackproblem
Quelle: Wikipedia
Ein Rucksack ist eine Tasche aus strapazierfähigem Material, die typischerweise auf dem Rücken getragen wird, oft von Wanderern und Soldaten verwendet, um Ausrüstung und Vorräte zu transportieren.
Das Rucksackproblem stellt die Herausforderung, aus einer Auswahl von Gegenständen mit jeweils eigenem Wert und Gewicht eine Teilmenge auszuwählen, die in einen Rucksack mit begrenzter Tragfähigkeit passt, um den Gesamtwert der ausgewählten Gegenstände zu maximieren.
Ein Beispiel für das Rucksackproblem:
Stellen Sie sich vor, Sie gehen wandern und haben einen Rucksack mit einer Kapazität von 15 Kilogramm dabei. Sie haben eine Liste mit Gegenständen, die Sie mitnehmen könnten, zusammen mit deren Werten und Gewichten, wie in der folgenden Tabelle dargestellt:
| Gegenstand | Wert | Gewicht |
| Zelt | 200 | 3 |
| Schlafsack | 150 | 2 |
| Kocher | 50 | 1 |
| Lebensmittel | 100 | 2 |
| Wasserflasche | 100 | 0.5 |
| Erste-Hilfe-Set | 25 | 1 |
Wählen Sie eine Teilmenge der mitzunehmenden Gegenstände, um den Gesamtwert zu maximieren und gleichzeitig sicherzustellen, dass das Gesamtgewicht die Rucksackkapazität von 15 Kilogramm nicht überschreitet.
Praktische Anwendungen des Rucksackproblems umfassen die Auswahl von Wertpapieren, die einem Portfolio hinzugefügt werden sollen, um das Risiko zu minimieren und den Gewinn zu maximieren, sowie die Optimierung des Verschnitts bei der Verarbeitung von Rohmaterialien.
#2. Das Scheduling-Problem
Ein Scheduling-Problem ist ein Optimierungsproblem, bei dem das Ziel darin besteht, Aufgaben optimal einer Menge von Ressourcen zuzuweisen. Diese Ressourcen können Maschinen, Personal oder andere Mittel sein, die zur Erledigung der Aufgaben erforderlich sind.
Ein Beispiel für ein Scheduling-Problem:
Stellen Sie sich vor, Sie sind ein Projektmanager, der für die Planung einer Reihe von Aufgaben verantwortlich ist, die von einem Team von Mitarbeitern erledigt werden müssen. Jede Aufgabe hat eine Startzeit, eine Endzeit und eine Liste der qualifizierten Mitarbeiter.
Hier ist eine Tabelle, die die Aufgaben und ihre Eigenschaften beschreibt:
| Aufgabe | Startzeit | Endzeit | Qualifizierte Mitarbeiter |
| T1 | 9 | 11 | A, B, C |
| T2 | 10 | 12 | A, C |
| T3 | 11 | 13 | B, C |
| T4 | 12 | 14 | A, B |
Weisen Sie jeder Aufgabe einen Mitarbeiter zu, um die Gesamtbearbeitungszeit zu minimieren.
Das Scheduling-Problem kann in der Fertigungsindustrie auftreten, wenn es darum geht, die Zuweisung von Ressourcen wie Maschinen, Materialien, Werkzeugen und Arbeitskräften zu optimieren. Es kann auch im Gesundheitswesen relevant sein, wenn es um die Optimierung des Einsatzes von Betten, Personal und medizinischem Material geht. Weitere Bereiche, in denen dieses Problem auftritt, sind Projektmanagement, Lieferkettenmanagement und Bildung.
#3. Das Problem des Handlungsreisenden
Quelle: Wikipedia
Dies ist eines der am intensivsten untersuchten Optimierungsprobleme, das durch dynamische Programmierung gelöst werden kann.
Das Problem des Handlungsreisenden gibt eine Liste von Städten und die Distanzen zwischen jedem Städtepaar vor. Die Aufgabe besteht darin, die kürzestmögliche Route zu finden, die jede Stadt genau einmal besucht und zum Ausgangspunkt zurückkehrt.
Ein Beispiel für das Problem des Handlungsreisenden:
Stellen Sie sich vor, Sie sind ein Verkäufer, der in kurzer Zeit eine Reihe von Städten besuchen muss. Sie haben eine Liste der Städte, die Sie besuchen müssen, und die Entfernungen zwischen jedem Städtepaar, wie in der folgenden Tabelle dargestellt:
| Stadt | A | B | C | D | E |
| A | 0 | 10 | 15 | 20 | 30 |
| B | 10 | 0 | 35 | 25 | 15 |
| C | 15 | 35 | 0 | 30 | 20 |
| D | 20 | 25 | 30 | 0 | 10 |
| E | 30 | 15 | 20 | 10 | 0 |
Das Problem des Handlungsreisenden findet beispielsweise in der Freizeitindustrie bei der Routenplanung für Touristen, in der Logistik bei der Planung des Warentransports, im Verkehrswesen bei der Busroutenplanung und in der Vertriebsbranche Anwendung.
Die dynamische Programmierung hat viele reale Anwendungen, was das Verständnis dieses Konzepts lohnenswert macht.
Die folgenden Ressourcen können Ihnen helfen, Ihr Wissen über dynamische Programmierung zu vertiefen.
Ressourcen
Dynamische Programmierung von Richard Bellman
„Dynamic Programming“ ist ein Buch von Richard Bellman, dem Erfinder und Pionier der dynamischen Programmierung.
Das Buch ist leicht verständlich und setzt lediglich grundlegende Kenntnisse in Mathematik und Analysis voraus. Bellman stellt die mathematische Theorie eines mehrstufigen Entscheidungsprozesses vor, die den Kern der dynamischen Programmierung bildet.
Das Buch behandelt zudem Engpassprobleme in mehrstufigen Produktionsprozessen, Existenz- und Eindeutigkeitstheoreme und die optimale Bestandsgleichung.
Besonders hervorzuheben ist, dass Bellman Beispiele für komplexe Probleme in Bereichen wie Logistik, Planungstheorie, Kommunikationstheorie, mathematische Ökonomie und Steuerungsprozesse liefert und zeigt, wie die dynamische Programmierung diese Probleme lösen kann.
Das Buch ist als Kindle-, Hardcover- und Taschenbuchausgabe erhältlich.
Masterkurs Dynamische Programmieralgorithmen
Dieser Masterkurs über dynamische Programmieralgorithmen auf Udemy wird von Apaar Kamal, einem Softwareentwickler bei Google, und Prateek Narang, der ebenfalls bei Google gearbeitet hat, angeboten.
Der Kurs ist darauf ausgerichtet, Lernenden bei der Teilnahme an Programmierwettbewerben zu helfen, in denen viele Probleme mit dynamischer Programmierung gelöst werden. Neben Programmierwettbewerbern eignet sich der Kurs auch für Programmierer, die ihr Verständnis von Algorithmen verbessern möchten, und für Personen, die sich auf Programmierinterviews und Online-Coding-Runden vorbereiten.
Der Kurs, der über 40 Stunden dauert, behandelt die dynamische Programmierung ausführlich. Er beginnt mit einer Auffrischung von Konzepten wie Rekursion und Backtracking.
Anschließend werden neben vielen anderen Konzepten die dynamische Programmierung in Spieltheorie, Strings, Bäume und Graphen, Matrixexponentiation, Bitmasken, Kombinatorik und Teilsequenzen, Partitionsprobleme und mehrdimensionale dynamische Programmierung behandelt.
Wettbewerbsfähige Programmierung Essentials, Meisteralgorithmen
Udemy bietet einen Kurs für Wettbewerbsfähige Programmierung von Prateek Narang und Amal Kamaar an, der dynamische Programmierung, Mathematik, Zahlentheorie und fortgeschrittene Datenstrukturen und Algorithmen in einer Weise behandelt, die für Wettkampfprogrammierer nützlich und relevant ist.
Der Kurs beginnt mit einer Auffrischung zu Datenstrukturen und Algorithmen, bevor er sich komplexeren Algorithmen und Techniken widmet, die sich im Wettkampfprogrammieren als nützlich erweisen.
Der Kurs behandelt dynamische Programmierung, Mathematik, Spieltheorie, Mustererkennung, Bitmaskierung und eine Vielzahl fortgeschrittener Algorithmen, die in Programmierwettbewerben verwendet werden.
Der Udemy-Kurs ist in 10 Module und 42 Abschnitte unterteilt und bietet nach jedem Abschnitt viele Übungsfragen. Dieser Bestsellerkurs ist ein Muss für alle, die sich für das wettbewerbsorientierte Programmieren interessieren.
Abschließende Gedanken
Die dynamische Programmierung ist eine wertvolle Fähigkeit für jeden Programmierer, die hilft, die Fähigkeiten zur Problemlösung zu verbessern. Programmierer sollten die vorgeschlagenen Ressourcen nutzen, um dieses wichtige Werkzeug in ihrem Repertoire zu etablieren.
Als Nächstes könnten Sie sich Programmiersprachen ansehen, die in der Datenwissenschaft verwendet werden.